Matrizen sind mathematische Datenstrukturen und allgemein wohl besser als Tabellen bekannt. Sie werden in vielen täglichen Anwendungsgebieten (Gleichungssysteme, Marktanalysen, Kaufverhalten, Materialverflechtung) verwendet und helfen dabei, Probleme schneller und effizienter zu lösen. Vor allem in Kombination mit heutigen Rechnern finden Matrizen häufige Verwendung, und wenn es nur darum geht, miteinander verknüpfte Daten abzuspeichern oder zu verarbeiten.
Matrizen bestehen, wie Tabellen, aus Spalten und Zeilen, deren Anzahl vor allem beim Rechnen mit Matrizen eine wesentliche Rolle spielt. Daher werden die Spalten- und Zeilenanzahlen auch in die Schreibweise der Matrizen integriert. Dargestellt wird eine Matrix durch grosse Buchstaben, denen als Index die Zeilenanzahl und die Spaltenanzahl hinzugefügt werden, welche durch Kommata getrennt sind; dabei steht im Gegensatz zu Koordinaten auf einem Bildschirm grundsätzlich die Zeilenanzahl vorne (Beispiel: A5,2 / Matrix A mit 5 Zeilen und 2 Spalten).
Soll auf ein einzelnes Element einer Matrix zugegriffen werden, so wird dies über einen kleinen Buchstaben angezeigt, welcher dem Bezeichner der Matrix entspricht, und welcher als Index die Position des Elements innerhalb der Matrix enthält (Beispiel a2,1 / Element der Matrix A in Zeile 2 und Spalte 1).
Soll eine Matrix definiert werden, so wird einfach dem entsprechenden Bezeichner eine Menge von mathematischen Ausdrücken zugewiesen, welche in Tabellenform über und nebeneinander stehen und von normalen Klammern eingeschlossen werden. Dabei können als mathematische Ausdrücke sowohl normale Zahlen, oder aber auch komplexere Gebilde wie zum Beispiel Therme, Variablen oder andere Matrizen stehen.
Eng verwandt mit den Matrizen sind die Vektoren, welche genau genommen selbst kleinere Matrizen sind, welche aber nur eine Zeile oder eine Spalte aufweisen. Vektoren stellen meistens eine Richtung oder eine Änderung dar; im geometrischen Sinn stellen sie zum Beispiel den Abstand zweier Punkte in einem Koordinatensystem dar, indem sie die Differenzen der Koordinaten der beiden Punkte enthalten. Dargestellt werden Vektoren durch kleine Buchstaben mit einem Pfeil darüber, welcher eine Änderung, Richtung oder Bewegung andeutet.
An dieser Stelle möchte ich einige spezielle Matrizen einführen, die später benötigt werden!
Es gibt so genannte Zeilen- oder Spaltenmatrizen, welche jeweils nur aus einer Zeile oder einer Spalte bestehen. Sind diese Matrizen nur mit Einsen gefüllt, so erhält man beim Multiplizieren mit Ihnen die Spalten- oder Zeilensumme.
Eine andere Matrizenart stellen die Permutationsmatrizen dar. Sie sind quadratisch - haben also genau so viele Spalten wie Zeilen - und weisen in jeder Zeile und in jeder Spalte nur genau eine Eins, und sonst nur Nullen auf. Mit ihnen lassen sich Spalten oder Zeilen einer Matrix vertauschen, indem man eine andere Matrix A mit ihnen multipliziert (Spaltentausch) oder sie mit der anderen Matrix multipliziert (Zeilentausch).
Sehr spezielle Permutationsmatrizen sind die Einheitsmatrizen! Einheitsmatrizen haben in der Hauptdiagonalen lauter Einsen, der Rest sind dementsprechend Nullen. Einheitsmatrizen sind neutrale Elemente bei der Matrizenmultiplikation, denn genau wie bei der Multiplikation mit Eins ändern sie den eigentlichen Ausdruck nicht.
Parallel zur Multiplikation gibt es dann auch ein Neutrales Element für die Addition. Diese Nullmatrix hat die selbe Wirkung wie eine Addition mit der reellen Zahl Null. Nullmatrizen haben beliebig viele Zeilen und Spalten und bestehen nur aus Nullen.
Schließlich gibt es noch die inversen und die transponierten Matrizen. Inverse Matrizen bilden sozusagen den Kehrwert einer Matrix, und ergeben multipliziert mit der entsprechenden Ausgangsmatrix eine Einheitsmatrix. Dargestellt werden inverse Matrizen wie bei den reellen Zahlen mit einem negativen Exponenten (Beispiel: A-1). Die transponierten Matrizen dagegen vertauschen einfach nur die Spalten und Zeilen einer Matrix. Dies wird durch ein hochgestelltes T dargestellt (Beispiel: AT).
Für Matrizen gelten die selben vier Grundrechenarten wie für die reellen Zahlen, mit Ausnahme der Division. Diese ist für Matrizen nicht definiert, kann aber rechnerisch auch durchgeführt werden.
An dieser Stelle möchte ich auch direkt den Begriff des Skalars definieren: Ein Skalar ist eine Matrix mit einer Spalte und einer Zeile, also im Prinzip eine ganz normale reelle Zahl, welche auch als solche geschrieben wird. Skalare werden, da sie reelle Zahlen sind, ganz normal durch Variablen dargestellt (Beispiel: a, b, c).
Wird eine Matrix An,m mit einem Skalar k addiert, so wird jedes Element ai,j der Matrix An,m mit dem Skalar k addiert. Dabei ist die Dimension der Matrix beliebig. Wird aber die Matrix An,m mit einer zweiten Matrix Bn,m addiert, so muss die Dimension der beiden Matrizen An,m und Bn,m übereinstimmen; denn bei der Matrizenaddition wird jedes Element ai,j mit dem entsprechenden Element bi,j addiert, so dass eine Matrix A4,5 gar nicht mit einer zweiten Matrix B4,7 addiert werden könnte.
Genau so wie bei der Addition verhält es sich auch bei der Subtraktion. Anstatt sie zu addieren, werden dabei nur die entsprechenden Elemente subtrahiert. Diese Übereinstimmung trifft sowohl für die Subtraktion von Skalaren und Matrizen als auch für die reine Matrizensubtraktion zwischen zwei Matrizen zu.
Bei der Multiplikation einer Matrix An,m mit einem Skalar k verhält es sich genauso wie bei der Addition eines Skalars mit einer Matrix: Es wird jedes Element ai,j der Matrix An,m mit dem Skalar multipliziert. Komplizierter verhält es sich bei der Multiplikation zweier Matrizen An,m und Bm,p. Bei dieser Art der Multiplikation werden nämlich alle Zeilen der Matrix An,m mit allen Spalten der Matrix Bm,p multipliziert, so dass das Produkt Cn,p die gleiche Zeilenanzahl wie die Matrix An,m und die gleiche Spaltenanzahl wie die Matrix Bm,p hat; dabei wird jeweils eine Zeile der ersten Matrix so mit einer Spalte der zweiten Matrix multipliziert, dass das Produkt einen Skalar h mit der Zeilenposition der verwendeten Zeile und der Spaltenposition der verwendeten Spalte ergibt; die entstandenen Skalare hi,j werden dann zu der Matrix Cm,p zusammengefasst.
Die Division ist - wie schon weiter oben erwähnt - für Matrizen nicht definiert. Man könnte jedoch für zwei Matrizen A und B beliebiger Dimension festsetzen, dass der Quotient von A und B mit dem Produkt der Matrix A mit der inversen der Matrix B übereinstimmt. Dabei muss bei der Multiplikation von A und B-1 jedoch wieder auf die Dimensionen der Matrizen geachtet werden (siehe Multiplikation).
Die inverse Matrix zu B kann mit dem Gaußschen Eliminationsverfahren bestimmt werden, welches ich hier aber nicht näher erklären werde; zum einen ist es nicht so schnell zu beschreiben und zum anderen gibt es schon andere Facharbeiten, welche sich mit diesem Verfahren beschäftigen (siehe Facharbeiten von Julija Lüdecke oder Christijan Belajsa).
Für die Addition von Matrizen gelten allgemein die gleichen Gesetze wie für die Addition von reellen Zahlen. Allerdings muss im Gegensatz zu den reellen Zahlen auf die Dimensionen der Matrizen geachtet werden (siehe Addition).
Anders verhält es sich dagegen mit den Gesetzen für die Multiplikation. Diese weichen geringfügig von denen der reellen Zahlen ab. So ist das Kommutativgesetz für die Multiplikation von Matrizen zum Beispiel nicht erlaubt, und auch die Division von Matrizen ist nicht direkt definiert (siehe 3.3.4 Division). Dafür existieren aber Rechengesetze für das Transponieren und das Invertieren von Matrizen, welche aber auch keiner weiteren Erklärung bedürfen.
Neben dem Distributivgesetz, welches auch für Matrizen Gültigkeit besitzt, existieren noch Gesetze für das Rechnen mit Skalaren und Matrizen. Diese gleichen aber den gewöhnlichen Gesetzmäßigkeiten so exakt, dass ich auch hier auf eine weitere Erklärung verzichten möchte.
Für alle Gesetzmäßigkeiten, welche hier genannt wurden, gibt es natürlich auch entsprechende Beweise. Diese sollen aber nicht Gegenstand meiner Arbeit sein. Wenn sich dennoch jemand für die Beweise interessieren sollte, so kann er diese in dem Buch "Lineare Algebra" von Eberhard Lehmann nachschlagen (siehe 8. Literaturverzeichnis).
Das Thema Matrizen lässt sich in drei grosse Themengebiete einteilen: Das Gebiet der Theorie, das der Anwendungen und das der Geometrie (siehe Anhang: 9. Gebietsübersicht Matrizen). Diese Arbeit beschäftigt sich mit einem Teilgebiet der Matrizengeometrie, der Abbildung mit Hilfe von Matrizen. Dabei werden sowohl affine Abbildungen im R² als auch affine Abbildungen im R³ behandelt. Außerdem werden im Anschluss an die Abbildungen im R³ schließlich auch noch Computergrafiken und Projektionen behandelt, welche auch das eigentliche Ziel meiner Arbeit ausmachen.
Teile dieser Arbeit beschäftigen sich aber auch mit der Matrizentheorie, da ich zuerst einmal klarstellen musste, was Matrizen sind, wie und wo man sie verwendet, wie man sie anwendet und mit ihnen rechnet und durch welche Besonderheiten sie sich auszeichnen.
