Abbildungsvektoren und Abbildungsmatrizen haben die Eigenschaft vorhandene Objekte abzubilden. Objekte im R² sind dabei Gegenstände, welche sich im R² darstellen lassen (zum Beispiel Kreise, Punkte, Linien und viele mehr). Addiert man diese Objekte nun mit einem Abbildungsvektor, oder multipliziert sie mit einer Abbildungsmatrix, so erhält man eine Abbildung des ursprünglichen Objekts. Diese Abbildung kann im Vergleich zu ihrem Ausgangsobjekt verschoben, gedreht, gespiegelt oder gestreckt sein.
Objekte können aber auch entartet abgebildet werden, indem zum Beispiel bei einem Quadrat jede Ecke mit einer anderen Abbildungsmatrix abgebildet wird. Bei dieser Art der Abbildung geht die Gestalt des ursprünglichen Objekts meistens verloren.
Deshalb werde ich in dieser Arbeit nur sogenannte lineare und affine Abbildungen verwenden, bei welchen die Ausgangsgestalt des abgebildeten Objekts erhalten bleibt.
Eine Abbildung L ist dann linear, wenn erstens die Abbildung der Summe zweier Vektoren x1 und y1 aus dem Vektorraum V gleich der Summe der Abbildungen der beiden Vektoren x1 und y1 ist und zweitens die Abbildung des Vielfachen des Vektors x1 gleich dem Vielfachen der Abbildung des Vektors x1 ist.
Drittens bewirkt eine lineare Abbildung des Punktes (x,y) auf (x',y').
Bei affinen Abbildungen werden gewisse Eigenschaften der ursprünglichen Objekte auf die abgebildeten Objekte vererbt. So wird zum Beispiel jede Gerade wieder in eine Gerade abgebildet, nicht parallele Geraden werden in nicht parallele Geraden abgebildet und die Teilverhältnisse einer Strecke bleiben bestehen. Affine Abbildungen sind lineare Abbildungen, wobei noch eine Verschiebung des Objekts hinzukommen kann (hier um den Vektor (v w)).
Eine nicht leere Menge V ist dann ein Vektorraum über der Menge der reellen Zahlen, wenn die Menge abgeschlossen ist, sie ein neutrales Element und zu jedem Element ein inverses Element enthält und für ihre Elemente (Vektoren) das Assoziativgesetz sowie das Kommutativgesetz gelten. Außerdem muss die Menge V auch bei der Multiplikation mit einem Skalar abgeschlossen sein und es müssen das Distributivgesetz sowie das Assoziativgesetz gelten.
Jeder Gegenstand kann durch eine Menge von Punkten dargestellt werden, welche untereinander mit Linien verbunden sind. Im R² besitzt dabei jeder Punkt Pi die Koordinaten xi und yi. Diese Koordinaten können nun in einer Matrix gespeichert werden.
Das Ganze lässt sich leicht am Beispiel der Kirche veranschaulichen: Im Zweidimensionalen besitzt die Kirche 10 Eckpunkte, welche teilweise miteinander durch Linien verbunden sind. Dabei muss sich nur gemerkt werden, welche Punkte jeweils durch eine Linie verbunden sind. Die Punkte werden dabei durch Indizes unterschieden.
Jeder Punkt Pi kann auch als eine Zeilenmatrix Z1,2 dargestellt werden. Um nun eine Gesamtmatrix mit allen Punkten der Kirche zu erhalten, müssen lediglich die einzelnen Zeilenmatrizen nach Indizes sortiert übereinander geschichtet werden, so dass man eine Matrix K10,2 erhält, deren Elemente ki,1 und ki,2 den Elementen xi und yi entsprechen.
Soll nun die Kirche abgebildet werden, so muss lediglich die Matrix K10,2 mit Hilfe einer Abbildungsmatrix verändert werden.
Der Einfachheit halber werde ich die speziellen Abbildungsmatrizen nur anhand der Abbildung eines einzelnen Punktes P(x,y) auf einen Punkt P'(x',y') zeigen. Natürlich kann die Abbildung des Punktes P auch jederzeit synonym auf die Abbildung der Kirchenmatrix K10,2 übertragen werden.
Generell kann festgehalten werden, dass x' und y' sich aus Vielfachen von x und y zusammensetzten. Es gilt also:
Soll zum Beispiel eine Spiegelung von P an der y-Achse vorgenommen werden, so braucht man nur a=(-1), b=0, c=0 und d=1 zu setzten, und man erhält den abgebildeten Punkt P'.
Entsprechend lassen sich die folgenden wichtigsten Abbildungsmatrizen für den R² herleiten:
Spiegelung an der y-Achse
Spiegelung an der x-Achse
Spiegelung an der 1. Winkelhalbierenden
Punktspiegelung an (0,0)
Scherung in Richtung der x-Achse um b
Scherung in Richtung der y-Achse um c
Skalierung mit ax und dy
Zentrische Streckung um s
Etwas komplizierter verhält es sich mit der Drehung eines Punktes P um den Ursprung des Koordinatensystems mit dem Winkel α. Nach Abbildung 4.4 gilt:
Faßt man diese Ergebnisse nun zusammen, so erhält man die folgende Abbildungsmatrix für die Drehung um (0,0) mit dem Winkel α:
Bisher habe ich ausschließlich lineare Abbildungsmatrizen vorgestellt. Wurde ein Punkt P aber linear durch eine Matrix A2,2 abgebildet, so kann er danach auch noch um einen Vektor (v w) verschoben werden. Die bisherigen Abbildungsgleichungen könnten also auf folgende Gestalt erweitert werden:
Diese Abbildung ist nun eine affine Abbildung, welche aber nicht mehr alleine durch eine einzige (2,2)-Matrix dargestellt werden kann.
Deshalb können an dieser Stelle homogene Koordinaten eingeführt werden, so dass man folgende Abbildungsgleichung erhält:
Bei der homogenen Darstellung wurden die Punkte P und P' also um je eine homogene Koordinate erweitert, so dass eine affine Abbildung des Punktes P inklusive einer Verschiebung mittels einer einzigen (3,3)-Matrix realisiert werden kann.
Geometrisch betrachtet kann die Einführung einer dritten homogenen Koordinate auch als ein Übergang vom R² zum R³ angesehen werden. Da die dritte Koordinate homogen ist, finden alle Vorgänge noch in einer Ebene statt, aber es wird genau genommen schon im R³ gearbeitet.
